All About ARIMA

contoh penyelesaian data dengan ARIMA

2011-12-24T07:46:00.000-08:00

Data
99.59	92.5	101.58	103.75	110.01	98.65	110.18	109.7	97.7	95.33
103.82	94.06	96.19	104.43	115.68	90.23	103.31	108.2	90.86	94.77
95.48	98.4	86.75	96.2	108.4	87.34	94.04	107.26	107.81	98.86
101.83	90.43	97.48	101.88	107.14	92.49	95.1	103.15	103.01	98.01
106.31	97.76	98.66	98.03	109.33	91.5	101.01	108.19	105.56	104.32
100.35	98.91	99.06	106.27	107.68	96.36	102.43	109.71	115.74	99.67
97.44	97.43	95.95	93.02	105.18	86.74	103.11	101.4	112.07	98.21
95.81	90.43	99.74	92.03	108.11	92.74	101.17	95.34	110.52	103.08
101.02	87.8	102.1	90.86	102.93	93.99	100	103.54	115.42	101.17
107.61	95.61	96.87	98.99	94.88	95.38	99.42	105.91	102.49	102.01
105.95	95.73	102.55	96.53	85.95	95.43	106.29	104.43	105.46	101.11
100.33	98.12	100.1	93.86	92.06	95.35	112.54	99.49	98.39	101.42
105.3	104.67	94.85	98.5	88.54	105.2	115.73	100.15	102.7	101.22
99.61	112.92	85.43	94.69	97.63	103	117.6	105.19	99.23	96.72
103.27	105.17	94.9	102.89	90.13	99.83	108.78	110.47	100.56	100.39
109.69	106.57	93.75	99.3	89.01	101.59	102.78	121.82	106.94	91.71
103.21	102.42	91.68	107.49	95.04	95.65	100.47	113.97	99.44	101.41
98.26	98.66	95.9	108.46	98.89	100.31	105.5	113.72	102.26	102.84
93.73	101.35	100.22	103.63	93.17	103.26	110.26	110.48	95.61	96.84
84.29	95.75	101.95	110.07	95.64	108.57	105.75	102.62	99.11	91.12

· Uji Stasioneritas

Sebelum dilakukan model ARIMA, data harus stasioner (terhadap varians dan mean). Untuk melihat kestasioneran data dapat menggunakan time series plot. Berikut ini time series plot dari data diatas.

Gambar 1 Time Series Plot

Gambar 1 menunjukkan bahwa data sudah stasioner terhadap varians dan mean. Untuk membuktikan kestasioneran data terhadap varians dapat dilihat pada lamda atau rounded value dari hasil box cox.

Gambar 2 Box Cox

Gambar 2 menunjukkan bahwa rounded value atau lamda pada data sebesar 1,00 sehingga data sudah stasioner terhadap varians.

· Identifikasi model

Identifikasi model dapat dilihat dari Autocorrelation Function (ACF) dan Partial Autocorrelation Function (PACF). Berikut ini ACF dan PACF dari data diatas.

Gambar 3 ACF

Gambar 4 PACF

Gambar 3 menunjukkan bahwa ACF menyusut secara eksponensial atau pola gelombang sinusoidal tidak begitu jelas. Gambar 4 menunjukkan pada PACF ada bar dampai lag p. Dari bentuk ACF dan PACF tersebut, maka data diidentifikasi memiliki model AR.

· Estimasi Model ARIMA

Berdasarkan ACF dan PACF pada gambar 3 dan gambar 4, maka data diestimasi memiliki model AR (0, 0, 1).

· Pemeriksaan Diagnosa

Ø Untuk model

Tabel 1 Pemeriksaan Model

Type Coef SE Coef T P

AR 1 0.6736 0.0530 12.71 0.000

Constant 32.8113 0.3541 92.67 0.000

Mean 100.516 1.085

Hipotesis:

H₀: tidak signifikan

H₁: signifikan

Keputusan : Tolak H₀karena P-value < α (0,000 < 0,05)

Kesimpulan: Model signifikan

Ø White Noise

Tabel 2 Modified Box-Pierce (Ljung-Box)

Lag 12 24 36 48

Chi-Square 13.6 19.5 26.9 32.9

DF 10 22 34 46

P-Value 0.191 0.616 0.801 0.927

Hipotesis:

H₀: white noise

H₁: tidak white noise

Keputusan : Gagal tolak H₀karena semua P-value > α

Kesimpulan : model white noise

Tahapan ARIMA

2011-12-15T21:09:00.000-08:00

Langkah-langkah penerapan metode ARIMA secara berturut-turut adalah identifikasi model, pendugaan parameter model, pemeriksaan diagnosa dan penerapan model untuk peramalan. Secara lengkap dapat dilihat pada bagan di bawah ini:

Gambar 1 Langkah-langkah ARIMA

1. Model umum dan uji stasioneritas

Stasioneritas berarti tidak terdapat pertumbuhan atau penurunan pada data. Data secara kasarnya harus horizontal sepanjang sumbu waktu. Dengan kata lain, fluktuasi data berada di sekitar suatu nilai rata-rata yang konstan, tidak tergantung pada waktu dan varians dari fluktuasi tersebut atau tetap konstan setiap waktu. Untuk mengetahui stasioner tidaknya data dapat diamati dari time series plot data tersebut, autocorrelation function data atau model trend linier data terhadap waktu.

Suatu data time series yang tidak stasioner harus diubah menjadi data stasioner, karena aspek-aspek AR dan MA dari model ARIMA hanya berkenaan dengan data time series yang stasioner. Salah satu cara yang paling sering dipakai adalah metode pembedaan (differencing) yaitu menghitung perubahan atau selisih nilai observasi. Nilai selisih yang diperoleh dicek lagi apakah stasioner atau tidak. Jika belum stasioner maka dilakukan differencing lagi.

2. Identifikasi model

Setelah data time series yang akan diolah langkah berikutnya adalah penetapan model ARIMA (p,d,q) yang sekiranya cocok. Jika data tidak mengalami differencing, maka d bernilai 0, jika data menjadi stasioner setelah differencing ke-1 maka d bernilai 1 dan seterusnya. Dalam memilih dan menetapkan p dan q dapat dibantu dengan mengamati pola Autocorrelation Function (ACF) dan Partial Autocorrelation Function (PACF) dengan acuan

sebagai berikut:

Tabel 1 Acuan Pola ACF dan PACF

Model	Pola ACF	Pola PACF
AR (p) atau ARIMA (p,d, 0)	Menyusut secara eksponensial atau pola gelombang sinusoidal yang tidak begitu jelas	Ada bar sampai lag p
MA (q) atau ARIMA (0,d,q)	Ada bar yang jelas sampai lag q	Menyusut secara eksponensial
ARIMA (p, d, q)	Menyusut secara eksponensial	Menyusut secara eksponensial

Kesalahan yang sering terjadi dalam penentuan p dan q bukan merupakan masalah besar pada tahap ini, karena hal ini akan diketahui pada tahap pemeriksaan diagnosa selanjutnya.

3. Pendugaan parameter model (estimasi model ARIMA)

Ada dua cara yang mendasar untuk mendapatkan parameter-parameter tersebut:

· Dengan cara mencoba-coba (trial and error), menguji beberapa nilai yang berbeda dan memilih satu nilai tersebut (atau sekumpulan nilai, apabila terdapat lebih dari satu parameter yang akan ditaksir) yang meminimumkan jumlah kuadrat nilai sisa (sum of squared residual).

· Perbaikan secara iteratif, memilih taksiran awal dan kemudian penghitungan dilakukan Box-Jenkins Computer Program untuk memperhalus penaksiran tersebut secara iteratif.

4. Pemeriksaan diagnosa

Setelah model ARIMA nya ditentukan, parameternya telah diestimasi, kemudian kita akan cek apakah model yang terpilih cocok dengan data atau tidak. Karena mungkin ada model ARIMA lain yang lebih cocok atau sama cocoknya dengan model terpilih. Dalam pemeriksaan terhadap model ada beberapa metode yang bisa dilakukan, antara lain adalah:

a. Pengujian model secara keseluruhan (Overall F test) dan pengujian masing-masing parameter model secara parsial (t-test), untuk menguji apakah koefisien model signifikan secara statistik atau tidak baik secara keseluruhan maupun parsial.

Hipotesis:

H₀: tidak signifikan

H₁: signifikan

b. Mengamati apakah residual dari model terestimasi merupakan white noise atau tidak. Jika residual berupa white noise, berarti model terpilih cocok dengan data. Sebaliknya bila residual tidak berupa white noise, berarti model terpilih bukan merupakan model yang cocok. Akibatnya, kita harus melakukan pilihan ulang dari awal lagi. Oleh sebab itu, metodologi Box-Jenkins disebut juga suatu proses iterasi. Model dikatakan baik jika nilai error bersifat random, artinya sudah tidak mempunyai pola tertentu lagi. Dengan kata lain model yang diperoleh dapat menangkap dengan baik pola data yang ada. Untuk melihat kerandoman nilai error dilakukan pengujian terhadap nilai koefisien autokorelasi dari error.

Hipotesis:

H₀: white noise

H₁: tidak white noise

Statistik uji: (dipilih salah satu dari dua metode dibawah ini)

1. Uji Q Box dan Pierce

2. Uji Ljung Box

Menyebar secara Khi Kuadrat χ²dengan derajat bebas (db) = (k-p-q-P-Q) dengan:

n’ = n – (d +SD)

d = ordo pembedaan bukan faktor musiman

          D = ordo pembedaan faktor musiman
   S = jumlah periode per musim
   m = lag waktu musiman
   r^k = autokorelasi untuk time lag 1, 2, 3, 4, … , k

Derah kritis:

Tolak H₀ Jika Q ≥ χ² _{(α, db)} atau P-value < α

5. Pemilihan model terbaik

Untuk menentukan model yang terbaik dapat digunakan standard error estimate berikut:

dengan:

Zt = nilai sebenarnya pada waktu ke-t

Model terbaik adalah model yang memiliki nilai standard error estimate (S) yang paling kecil. Selain nilai standard error estimate, nilai rata-rata persentase kesalahan peramalan (MAPE) dapat juga digunakan sebagai bahan pertimbangan dalam menentukan model yang terbaik yaitu:

T = banyaknya periode peramalan/dugaan

6. Penggunaan model untuk peramalan

Jika model terbaik telah ditetapkan, maka model siap digunakan untuk peramalan. Untuk data yang mengalami differencing, bentuk selisih harus dikembalikan pada bentuk awal dengan melakukan proses integral karena yang diperlukan adalah ramalan time series asli.

Notasi yang digunakan dalam ARIMA adalah notasi yang mudah dan umum. Misalkan model ARIMA (0,1,1)(0,1,1)⁹ dijabarkan menjadi sebuah persamaan regresi yang lebih umum:

Z_t = Z_t-1+ Z_t-9 + Z_t-10+ e_t – c₉e_t-9 – c₁₀e_t-10

Untuk meramalkan satu periode ke depan, yaitu Z_t+1maka model disusun seperti pada persamaan berikut:

Z_t+1 = Z_t + Z_t-1+ Z_t-9 + Z_t-10+ e_t+1 – c₉e_t-9 – c₁₀e_t-10

Nilai e_t+1tidak akan diketahui, karena nilai yang diharapkan untuk kesalahan random pada masa yang akan datang harus ditetapkan sama dengan nol. Akan tetapi dari model yang disesuaikan (fitted model) kita boleh mengganti nilai e_t, e_t-8 dan e_t-9 dengan nilai nilai mereka yang ditetapkan secara empiris (seperti yang diperoleh setelah iterasi terakhir algoritma Marquardt).

Tentu saja bila kita meramalkan jauh ke depan, tidak akan kita peroleh nilai empiris untuk “e” sesudah beberapa waktu, dan oleh sebab itu nilai harapan mereka akan seluruhnya nol. Untuk nilai Z pada awal proses peramalan, kita akan mengetahui nilai Z_t, Z_t-8, Z_t-9. Akan tetapi sesudah beberapa saat, nilai Z akan berupa nilai ramalan (forecasted value), bukan nilai-nilai masa lalu yang telah diketahui.

Teknik peramalan dengan menggunakan ARIMA juga memberikan confidence interval. Jika peramalan dilakukan jauh ke depan, maka confidence interval umumnya juga akan makin melebar. Namun tidak demikian untuk confidence interval moving average model murni. Peramalan merupakan never ending process yang berarti jika data terbaru muncul, model perlu diduga dan diperiksa kembali.

Klasifikasi Model ARIMA

2011-12-15T14:06:00.000-08:00

Metode ARIMA dibagi kedalam tiga kelompok model time series linier, yaitu: autoregressive model (AR), moving average model (MA) dan model campuran yang memiliki karakteristik kedua model di atas yaitu autoregressive integrated moving average (ARIMA).

1. Autoregressive Model (AR)

Suatu persamaan linier dikatakan sebagai autoregressive model jika model tersebut menunjukkan Z_t sebagai fungsi linier dari sejumlah Z_t aktual kurun waktu sebelumnya bersama dengan kesalahan sekarang. Bentuk model ini dengan ordo p atau AR (p) atau model ARIMA (p,d,0) secara umum adalah:

Z_t = μ’ + ϕ₁Z_t-1 + ϕ₂Z_t-2 + … + ϕ_pZ_t-p + e_t

Dimana:

Z_t = data time series sebagai variabel dependen pada waktu ke - t

Z_t-p= data time series pada kurun waktu ke - (t- p)

μ’ = suatu konstanta

ϕ_p= parameter autoregresif ke-p

e_t = nilai kesalahan pada kurun waktu ke- t

2. Moving Average Model (MA)

Berbeda dengan moving average model yang menunjukkan Z_t sebagai fungsi linier dari sejumlah Z_t aktual kurun waktu sebelumnya, moving average model menunjukkan nilai Z_t berdasarkan kombinasi kesalahan linier masa lalu (lag). Bentuk model ini dengan ordo q atau MA (q) atau model ARIMA (0,d,q) secara umum adalah:

Z_t = μ’ + e_t - θ₁e_t-1 – θ₂e_t-2 - … - θ_q e_t-q

Dimana:

Z_t = data time series sebagai variabel dependen pada waktu ke - t

μ’ = suatu konstanta

θ₁sampai θ_qadalah parameter-parameter moving average

e_t-q= nilai kesalahan pada kurun waktu ke – (t - q)

Terlihat dari model bahwa Z_t merupakan rata-rata tertimbang kesalahan sebanyak q periode lalu yang digunakan untuk moving average model. Jika pada suatu model digunakan dua kesalahan masa lalu maka dinamakan moving average model tingkat 2 atau MA (2).

3. Autoregressive Integrated Moving Average (ARIMA)

Sebuah model time series digunakan berdasarkan asumsi bahwa data time series yang digunakan harus stasioner yang artinya rata-rata variasi dari data yang dimaksud konstan. Tapi hal ini tidak banyak ditemui dalam banyak data time series yang ada, mayoritas merupakan data yang tidak stasioner melainkan integrated. Data yang integrated ini harus mengalami proses random stasioner yang seringkali tak dapat dijelaskan dengan baik oleh autoregressive model saja atau moving average model saja dikarenakan proses tersebut mengandung keduanya. Oleh karena itu campuran kedua model yang disebut autoregressive integrated moving average (ARIMA) menjadi lebih efektif menjelaskan proses itu. Pada model campuran ini series stasioner merupakan fungsi linier dari nilai lampau beserta nilai sekarang dan kesalahan lampaunya. Bentuk umum model ini adalah:

Z_t = μ’ + ϕ₁Z_t-1 + ϕ₂Z_t-2 + … + ϕ_pZ_t-p + e_t - θ₁e_t-1 – θ₂e_t-2 - … - θ_q e_t-q

Dimana:

Z_t = data time series sebagai variabel dependen pada waktu ke - t

Z_t-p= data time series pada kurun waktu ke -(t- p)

φ₁ φ_p θ₁ θ_q= parameter-parameter model

e_t-q= nilai kesalahan pada kurun waktu ke – (t - q)

Proses autoregressive integrated moving average secara umum dilambangkan dengan ARIMA (p,d,q), dimana:

p menunjukkan ordo/derajat autoregressive (AR)

d adalah tingkat proses differencing

q menunjukkan ordo/derajat moving average (MA)

ARIMA.....

2011-12-14T08:37:00.000-08:00

Autoregressive Integrated Moving Average (ARIMA) biasa disebut dengan metode Box-Jenkins. ARIMA sangat baik ketepatannya untuk peramalan jangka pendek, sedangkan untuk peramalan jangka panjang ketepatan peramalannya kurang baik karena cenderung flat (mendatar/konstan) untuk periode yang cukup panjang.

Model ARIMA adalah model yang secara penuh mengabaikan independen variabel dalam membuat peramalan. ARIMA menggunakan nilai masa lalu dan sekarang dari variabel dependen untuk

menghasilkan peramalan jangka pendek yang akurat. ARIMA tepat digunakan jika observasi dari deret waktu (time series) secara statistik berhubungan satu sama lain (dependent). Metode peramalan dengan menggunakan ARIMA dapat kita jumpai dalam peramalan ekonomi, analisis anggaran, kontrol terhadap proses dan kualitas, analisis sensus, perubahan struktur harga industri, inflasi, indeks harga saham, perkembangan nilai tukar terhadap mata uang asing dsb.

Model ARIMA menggunakan pendekatan iteratif dalam indentifikasi terhadap suatu model yang ada. Model yang dipilih diuji lagi dengan data masa lampau untuk melihat apakah model tersebut menggambarkan keadaan data secara akurat atau tidak. Suatu model dikatakan sesuai (tepat) jika residual antara model dengan titik-titik data historis bernilai kecil, terdistribusi secara acak dan bebas satu sama lainnya.